FC - Práctico 07/08 (inducción completa) – Transcript

00:01Está. Ahora sí estoy grabando. Cero. Entonces y arregamos. Bien. Entonces, tal, como les decía, hoy arrancamos hablando de inducción completa.

00:23Entonces, eh está lo que les decía es que en este curso eh en este curso le prestamos muchísima atención a la forma que ustedes escriban. Sí, más allá de que el argumento que ustedes están utilizando sea el correcto, nos va a importar cómo están presentando ese argumento. Sí, vamos a creer que la estructura de la demostración que ustedes hagan se

00:50prolija y esté como muy claro qué es lo que están haciendo, por qué están haciendo eso, hacia dónde van. Sí. Entonces, lo que vamos a hacer es como tener un esquema de cómo queremos que sea una demostración por inducción completa. Y la idea es que de al parcial, por ejemplo, si el examen, si el ejercicio de desarrollo es de inducción, que la prueba que ustedes hagan siga todos esos pasos. ¿Sí? O sea, básicamente el criterio de corrección va

01:17a ser ir chequeando que hagan todos los pasitos estos del esquema que que vamos a tener. Sí. Entonces, vamos a hablar un poquito de esto, como una especie como de templato, de plantilla,

01:44para demostraciones e por inducido. Sí. Entonces, el primer paso, lo que les vamos a pedir es que ustedes como aclaren el método que va a seguir la demostración que van a hacer, ¿no?

02:05Entonces, si ustedes hacen una demostración por inducción completa, simplemente escriban, "Voy a emplear el principio de inducción completa." Sí. ¿Qué tal? Parece medio bobo porque digamos si el ejercicio dice demuestren por inducción tal propiedad como que está es claro que va a usunar inducción, pero lo que queremos es que la la demostración quede como una cosa aislada del ejercicio. [carraspeo] Sí, una demostración correcta independientemente del enunciado del ejercicio. Entonces, cuando ustedes van a demostrar algo, si

02:33van a usar como un método de demostración conocido que tiene cierta estructura, está bueno al principio decir, voy a hacer tal cosa. Así la persona que está leyendo dice, "Ah, va a ser inducción." y ya está como mentalmente preparada para lo que viene después. Sí.

02:48Entonces, el primer paso va a ser eso, avisar, digamos, que van a usar el principio de inducción. principio de inducción completa.

03:22Después lo que les vamos a pedir es que definan bien cuál es la propiedad que van a demostrar. ¿cio paso va a ser definir la proposición P de N se quiere demostrar?

03:53Y de paso van a establecer como el valor inicial, digamos. O sea, si la propiedad la quieren demostrar que vale para todo n mayor o igual que uno, van a decir, "Bueno, como que el valor inicial es uno, como que el primer natural para el cual se cumple mi propiedad, ¿sí? O si la propiedad que quieran demostrar vale para eh naturales mayores iguales que cco, entonces van a decir como está, el valor inicial es cinco, que es como el primer natural para el cual mi propiedad es cierta. Sí, de ese natural en

04:19adelante siempre se cumple. Sí. Entonces, van a definir la proposición y el valor inicial. Sí. Entonces, estos dos pasos por ahora no hicimos matemática, simplemente como aclaramos qué es lo que vamos a hacer.

04:41Sí, aclaramos cuál es el método de la demostración y qué es lo que vamos a demostrar. Estos dos pasos es pura forma de la demostración. Sí. Es para que quede una demostración como clara para la persona que va a leer.

04:56Y eso se hace en español o con lenguaje matemático. Esto, esto es una frase. Simplemente digan, voy a utilizar el principio de indicción completa. Listo, ahí ya está.

05:09Después la proposición en sí. Acá sí tiene que tener como algún también puede ser escrita en una frase la proposición, pero digamos ahora cuando veamos ejemplos eh va a quedar un poquito más claro la proposición. Sí, ahí te va a aparecer un poco de del lenguaje matemático, ¿sí? Y después el valor inicial va a ser simplemente decir y tomamos n0 igual a tanto. Sí.

05:47Bien, entonces estos primeros dos pasos son de forma de la demostración, básicamente para que quede linda la demostración. Es eso. Entonces, el paso tres, ahora sí viene la parte de la inducción. Entonces, cuando ustedes hacen una demostración por inducción completa, hay como dos pasos importantes. El paso, el paso base, que es como que chequear que la proposición se verifica para el primer natural

06:13y después el paso induttivo, que es que si yo sé que vale para un cierto n, entonces vale para el siguiente. Si conocer esas dos cosas son las que te permiten afirmar que la proposición se cumple para todo natural, mayor o igual que el valor inicial. ¿Sí? Entonces, vamos a arrancar con el paso base.

06:37Entonces, en el paso base lo que tienen que hacer es probar que la proposición vale para el valor inicial. Después del paso base, miramos el paso inductivo,

07:08que el paso indutivo que es yo supongo que mi propiedad vale para un cierto natural K y a partir de esa suposición demuestra que vale para el siguiente, o sea, para K + 1. Entonces, suponiendo que P de K es cierta para un K

07:39mayor o igual que el valor inicial. Tenemos que probar que entonces p de k + 1 también es cierto.

08:05Ya. Entonces, hay como dos cosas. Hay por un lado lo que estamos suponiendo que es cierto, que es esto, pd es cierta. Eso es lo que se llama la hipótesis inductiva. Y por otro lado está lo que tenemos que demostrar, que es esto. Pamién es cierta y eso es lo que se llama la tesis inductiva. Entonces, lo que les vamos a pedir es que escriban explícitamente cuál es la hipótesis y

08:32cuál es la tesis. Eso por un lado, por forma para que quede prolijo, pero más que nada porque ayuda pila para ustedes hagan la demostración. Sí. O sea, siempre que van a demostrar algo es bien importante tener claro de dónde salgo, qué es lo que sé y a dónde quiero ir. Entonces, por eso les vamos a pedir que escriban bien explícitamente qué es que PDK sea cierta y qué quiere decir que PDK + 1 sea cierta. Sí.

08:59Entonces acá les vamos a pedir eso. Hay que plantear la hipótesis inductiva y la tesis indutiva.

09:23Pero eso es luego de hacer el paso inductivo. Ah, todo esto está dentro del paso inductivo. Okay. Sí. El paso inductivo se divide en dos cosas. Primero enuncian la hipótesis, después inuncian la enuncian la tesis y la demuestran. Todo eso está metido dentro del paso inutilo.

09:43Entonces, la hipótesis indutiva es esto. P de K es cierta para algún K. Esto va a ser CA.

09:58K mayor igual que es cer tal que p de K es verdaderao. Voy a ponerle mejor. Y después la tesis, que es lo que queremos demostrar es esta. P de K + 1 también es cierta.

10:37Sí. ¿Y qué pasa? La tesis inductiva, o sea, esta afirmación la van a demostrar aplicando la hipótesis en algún momento. ¿Sí? Entonces, lo que les vamos a pedir es que dentro de la demostración de la tesis inductiva señalen cuándo es que están usando la hipótesis.

10:57Entonces acá en la demostración de la tesis inductiva se debe aclarar cuándo se está usando la hipótesis.

11:33Sí. Entonces, plantean la hipótesis, ya dicen, "Asumo que tal cosa es cierta, enuncian la tesis, quiero demostrar tal cosa." Y cuando demuestran la tesis, aclaran en qué paso de la demostración están usando esto, lo que asumieron al principio.

11:59Y bueno, como que de un punto de vista matemático ya está, ¿no? Una vez que tienen el paso intivo, la demostración, como que ya el argumento ya está hecho, pero lo que le vamos a les vamos a pedir es como una frasecita al final para concluir. Sí. Entonces, vamos a tener un paso cinco que va a ser la conclusión.

12:21Y la conclusión, ¿qué va a ser? Bueno, el paso base es verdadero, el paso inductivo también se verifica. Entonces, por el principio de inducción completa, la propiedad es verdadera. Entonces, nuestra conclusión va a ser una frasecita que dice cómo se verifica el paso hace