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FC - Práctico 19/08 (inducción) – Transcript
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Bienando entonces vamos acá con el seis. Entonces el se nos dice queremos probar que para todo entero positivo mayor igual que 2 se cumple que n a la 3 - n es múltiplo de 6.
Sí. Entonces vamos a escribir toda la prueba lija. Entonces, ¿qué es lo primero que hacemos? Aclaramos cuál es el método que vamos a usar. Sí.
Ah, hablen más. Sí. No levanten la mano. Me interrumpen tranquilos. La la costumbre de la clase. Perdón. [risas] Eh, yo es que bajé la mano porque directamente me salté ese primer paso.
Ah, yo iba directamente ya al paso base. Ah, dos. Dos. No, tengan cuidado porque estamos de acuerdo que una demostración por inducción como que lo importante es el paso base y el paso inductivo. Ahí es donde está la matemática, digamos.
Eh, y si vos tenés esas dos cosas de un punto de vista de la matemática, la prueba ya está. Pero hay como detalles como de forma de la demostración que les estamos pidiendo, eh, que es importante porque todas esas cosas llevan puntos en el parcial. Sí.
Entonces, ahí está. Lo primero que tienen que decir es eso, qué es lo que van a usar. En este caso vamos a usar inducción simple o inducción completa. Entonces aclaran, vamos a usar el principio de inducción completa y después eh tenemos como que enunciar bien la proposición que vamos a demostrar. ¿Qué tal la proposición? Es el contenido de la letra del ejercicio, pero igual la la vamos a escribir de de cierta forma, ¿sí? Entonces, lo primero que vamos a hacer es eh
decir que vamos a usar el principio de fusión completa. Entonces vamos a emplear el principio es deción completa. Sí, tengan cuidado con estas cosas porque perder puntos en el parcial por olvidarse de algo así es brutal.
Sí. Entonces, lo primero decimos cuál va a ser el el método de la demostración, básicamente. Sí. [carraspeo] Después definimos el la proposición que vamos a demostrar. Entonces, para todo natural o para todo entero positivo mayor igual que dos.
Entonces para todo n mayor o igual que 2 consideramos o definimos definimos la proposición que nuestra propución qué es que n a la 3 - n es múltiplo de 6.
Sí. Y ahí te falta lo de que tomamos n sub0 ig 2. Ahí está. Y ahora cuál va a ser nuestro caso base. Tomamos - sub ig a 2.
Bien. Entonces, ahora sí estas estos dos pasos son pasos de forma no más para que la demostración quede como prolidar. Sí, es necesario definir que la proposición es abierta.
Ah, decir proposición abierta, ¿no? Si decí proposición, ya está. Gracias. Lo que sí tengan cuidado es de como que no poner como un para todo o algo así adentro de la proposición. O sea, la proposición es como algo sobre un cierto natural, es una afirmación sobre el natural, pero no es como para todos o algo así.
Entonces, claro, si vos evaluas esta proposición, la puedes evaluar en tres, por ejemplo. Entonces, ahí tenés una afirmación acerca del número tres. O si la evalúas en cuatro, tenés una afirmación acerca de cuatro y así. Y lo que queremos, en realidad es como que tenés toda una lista de proposiciones, tenés la proposición para dos, para tres, para cuatro, etcétera. Y queremos probar que todas esas proposiciones son verdaderas.
Sí. Bien. Entonces, estos son los primeros dos pasos, decir cuál es el método y definir la la proposición que vamos a demostrar. Profe, al final hablo con el profesor del teórico virtual por lo de eso de definir el dominio antes de de poner qué vamos a usar, qué principio vamos a usar.
Eh, en el para para el criterio, para el parcial, lo que vamos a seguir es lo que está en los apuntes del curso. Sí. Okay, gracias, profe. Como que Pablo les da como una un esquema todavía más detallado, pero en el parcial no les vamos a pedir tanto, o sea, si lo hacen está bárbaro, está perfecto, pero no les vamos a pedir tanto detalle, lo que les vamos a pedir es como el esquemita que está en los apuntes.
Gracias, profe. Es que yo literalmente tantos ejercicios que hice usando este sistema, ya se me quedó más grabado eso y si tengo que cambiarlo lo otro, me muero. No, no, no, no. Si siguen los el esquemita que está en los en los apuntes del curso, ya está.
Sí. Y claro, si hacés como hasta el paso base, vas a tener los puntos que que porque cuando hagamos el criterio de corrección va a ser eh dice cuál es el método de demostración, tantos puntos, define la proposición, tantos puntos, paso inductivo, tantos puntos. Entonces, si vos hacés como las primeras cosas, tenés los puntos de esas
cosas y está después. No tenés los puntos de lo que viene después, pero los puntos de los los primeros pasos, digamos, obtenés. [carraspeo] Bueno, entonces
después de estos dos pasos de forma, ahora sí viene el paso base, ¿no? En el desarrollo si hay alguna cosa que está mal, no resta puntos. Eso es solo verdadero, falso o multiploción.
Ahí un error te resta puntos, pero el desarrollo no. Bien, entonces ahora sí, paso base. Entonces, en el paso base, ¿qué es lo que tenemos que hacer?
Tenemos que probar que esta proposición sí no es para n igual a 2. Ahí está para el primer entero para el que se cumple que es dos. Entonces acá tenemos que probar que se cumple P de 2. ¿Sí? Entonces, ¿qué tenemos que hacer? Tenemos que venir para acá, reemplazar n con 2 y
probar que esto es múltiplo de 6. Entonces, si n vale 2, tenemos 2 a la 3 - 2. A la 3 es 8 - 2 es 6 y 6 es múltiplo de 6.
Entonces, 2 a la 3 - 2 es múltiplo de 6. Por lo tanto, P2 es verdadero. Bien, paso base. Pronto. Lo siguiente, el paso indúctivo.
Entonces, en el paso indutivo, ¿qué es lo que hacemos? Decimos, está, yo sé que la proposición vale para un cierto entero K, un cierto natural K y probamos que vale, suponemos que se cumple para P de K, que cumpla la condición de el mínimo y y asumimos si se va a cumplir para p de K + 1 y tratamos después de comprobarlo.
Ahí está. Decir, supongo que vale para acá, o sea, que P de K [carraspeo] es cierta y usando que P de K es cierta, el objetivo es probar que p de K + 1 también es cierta. Sí. Sí. Entonces acá lo que hay que hacer es, suponiendo que se cumple PDK, tenemos que probar
que se cumple P de Camul. Y acá acuérdense de escribir explícitamente cuál es la hipótesis y cuál es la tesis. O sea, escriban qué quiere decir que se cumple PDK y qué quiere decir que se cumple PDK + 1. Sí.
Entonces, nuestra hipótesis inductiva es lo que estamos suponiendo. Ahí está. Exactamente esa es la idea, ¿no? Entonces, la hipótesis inductiva es que la proposición se cumple para k a la 3 - k es múltiplo de 6.
Vamos a poner entonces sea un k mayor o igual que 2 tal que k a la 3 - k es múltiplo de 6. ¿Qué esto lo que quiere decir? Porque escrito así no nos va a ayudar tanto, pero decir que algo es múltiplo de 6 es
lo que dice el compañero, que se puede escribir como 6 por algo. ¿Sí? Entonces, esto lo que quiere decir es que k a la 3 - k va a ser 6 * m, yo que sé, para algún m en z m en n. Okay.
Sí. Entonces, estamos suponiendo esto que k la 3 - k es múltiplo de 6. Y lo que queremos demostrar, que es la tesis inductiva, es que se cumple p de k + 1 y p de k + 1 va a ser k + 1 a las 3 - k es múltiplo de 6.